解：由题知，点

E

是

B D

的三等分点，建立如图所示的空间直角坐标系．

设 $A B = 2$ ，则 $O (0 ， 0 ， 0)$ ， $A (1 ， 0 ， 0)$ ， $C (- 1 ， 0 ， 0)$ ， $D （ 0 ， 0 ， 1)$ ， $B (0 ， \sqrt{3} ， 0)$ ， $E (0 ， \frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{2}{3})$ ， $\vec{A D} = (- 1 ， 0 ， 1)$ ， $\vec{A E} = (- 1 ， \frac{\sqrt{3}}{3} ， \frac{2}{3})$ ， $\vec{A C} = (- 2 ， 0 ， 0)$

设平面 $A D E$ 的一个法向量为 $\vec{m} = (x_{1} ， y_{1} ， z_{1})$ ，

则 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{A D} = 0 \\ \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{A E} = 0 \end{array}$ 即 ${\begin{array}{l} - x_{1} + z_{1} = 0 \\ - x_{1} + \frac{\sqrt{3}}{3} y_{1} + \frac{2}{3} z_{1} = 0 \end{array}$ 令 $x_{1} = 3$ ，则 $z_{1} = 3$ ， $y_{1} = \sqrt{3}$

所以平面 $A D E$ 的一个法向量 $\vec{m} = (3 ， \sqrt{3} ， 3)$ ．

设平面 $A C E$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (x_{2} ， y_{2} ， z_{2})$

则 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{A C} = 0 \\ \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{A E} = 0 \end{array}$ 即 ${\begin{array}{l} - 2 x_{2} = 0 \\ - x_{2} + \frac{\sqrt{3}}{3} y_{2} + \frac{2}{3} z_{2} = 0 \end{array}$ $x_{2} = 0$ ，令 $y_{2} = 2$ ，则 $z_{2} = - \sqrt{3}$

所以平面 $A C E$ 的法向量为 $\vec{n} = (0 ， 2 ， - \sqrt{3})$ .

所以 $\cos 〈 \vec{m} ， \vec{n} 〉 = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{| \vec{m} | \times | \vec{n} |} = \frac{2 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{\sqrt{9 + 3 + 9} \times \sqrt{4 + 3}} = \frac{- \sqrt{3}}{7 \sqrt{3}} = - \frac{1}{7}$

所以二面角 $D - A E - C$ 的余弦值为 $\frac{1}{7}$ .

河南省郑州市2020-2021学年高三上学期理数第一次质量检测试卷