解：设

A C

与

B D

交于点O，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系

O - x y z

，如图所示，

设 $A B = 2 ， P A = t (t > 0)$ ，

则 $P (- \sqrt{3} ， 0 ， t) ， A (- \sqrt{3} ， 0 ， 0) ， B (0 ， 1 ， 0) ， D (0 ， - 1 ， 0) ， C (\sqrt{3} ， 0 ， 0)$ ，

则 $\vec{P A} = (0 ， 0 ， - t) ， \vec{A B} = \vec{D C} = (\sqrt{3} ， 1 ， 0) ， \vec{P D} = (\sqrt{3} ， - 1 ， - t)$ .

设平面 $P A B$ 的法向量为 $\vec{m} = (x ， y ， z)$ ，则

${\begin{array}{l} \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{P A} = - t z = 0 ， \\ \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{A B} = \sqrt{3} x + y = 0 ， \end{array}$

令 $x = 1$ ，得 $\vec{m} = (1 ， - \sqrt{3} ， 0)$ .

设平面 $P C D$ 的法向量为 $\vec{n} = (x^{'} ， y^{'} ， z^{'})$ ，则.

${\begin{array}{l} \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{P D} = \sqrt{3} x^{'} - y^{'} - t z^{'} = 0 ， \\ \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{D C} = \sqrt{3} x^{'} + y^{'} = 0 ， \end{array}$

令 $x^{'} = t$ ，得 $\vec{n} = (t ， - \sqrt{3} t ， 2 \sqrt{3})$ .

设平面 $P A B$ 与平面 $P C D$ 所成的锐二面角为 $θ$ ，则

$\cos θ = \frac{| \vec{m} \cdot \vec{n} |}{| \vec{m} | | \vec{n} |} = \frac{4 t}{2 \times \sqrt{4 t^{2} + 12}} = \frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，

解得 $t = 2$ ，则 $\tan ∠ P C A = \frac{t}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，故 $∠ P C A = 30 °$ .

贵州省贵阳市四校2021届高三上学期理数第二次联合考试试卷