存在，

①当QO=QF时，

∵A（4，0），Q（2，0）

∴AQ=OQ=QF=2，

∵在Rt△AOC中，OA=OC=4，

∴∠OAC=45°，

∴∠QFA=∠OAC=45°，

∴∠AQF=90°，

此时F（2，-2）

∵直线l平行于x轴，

∴点P的纵坐标为-2，

∴x²-3x-4=-2，解得： $x_{1} = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} ， x_{2} = \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$ ，

∴ $P_{1} (\frac{3 + \sqrt{17}}{2} ， - 2)$ ， $P_{2} (\frac{3 - \sqrt{17}}{2} ， - 2)$

②当QF=OF时，过点F作FH⊥OA于点H，

由等腰三角形“三线合一”可得：OH= $\frac{1}{2} O Q = 1$ ，

∴AH=4-1=3

在等腰直角三角形AFH中，AH=HF=3，

∴点F（1，-3）

∵直线l平行于x轴，

∴点P纵坐标为-3，

∴x²-3x-4=-3，解得： $x_{1} = \frac{3 + \sqrt{13}}{2} ， x_{2} = \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

∴ $P_{3} (\frac{3 + \sqrt{13}}{2} ， - 3)$ ， $P_{4} (\frac{3 - \sqrt{13}}{2} ， - 3)$

③当OQ=OF时，

∵OA=OC，∠AOC=90°，

∴AC= $\sqrt{4^{2} + 4^{2}} = 4 \sqrt{2}$ ，

∴点O到AC的距离为 $\frac{4 \times 4}{4 \sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}$ ，

∵OF=OQ=2 $< 2 \sqrt{2}$ ，

∴此时，不存在这样的直线l，使得△OQF是等腰三角形，

综上所述，点P的坐标为 $P_{1} (\frac{3 + \sqrt{17}}{2} ， - 2)$ ， $P_{2} (\frac{3 - \sqrt{17}}{2} ， - 2)$ ， $P_{3} (\frac{3 + \sqrt{13}}{2} ， - 3)$ ， $P_{4} (\frac{3 - \sqrt{13}}{2} ， - 3)$

广西南宁市天桃实验学校2019-2020学年九年级下学期数学3月月考试卷