解：过点A作y轴的平行线，过点B作x轴的平行线，两者交于点C，

$∵ A (- 1 ， - 1)$ ， $B (2 ， - 4)$ ，

$∴ C (- 1 ， - 4)$ ， $A C = B C = 3$ ，

设点P的横坐标为m，则点P的纵坐标为 $- m^{2}$ ．

过点P作 $P D ⊥ A C$ 于D，作 $P E ⊥ B C$ 于E．则 $D (- 1 ， - m^{2})$ ， $E (m ， - 4)$ ，

$∴ P D = m + 1$ ， $P E = - m^{2} + 4$ ．

$∴ S_{△ A P B} = S_{△ A P C} + S_{△ B P C} - S_{△ A B C}$

$= \frac{1}{2} A C \cdot P D + \frac{1}{2} B C \cdot P E - \frac{1}{2} A C \cdot B C$

$= \frac{1}{2} \times 3 (m + 1) + \frac{1}{2} \times 3 (- m^{2} + 4) - \frac{1}{2} \times 3 \times 3$

$= - \frac{3}{2} m^{2} + \frac{3}{2} m + 3$ ．

$∵$ $- \frac{3}{2} < 0$ ， $m = - \frac{\frac{3}{2}}{2 \times (- \frac{3}{2})} = \frac{1}{2}$ ， $- 1 < m < 2$ ，

$∴$ 当 $m = \frac{1}{2}$ 时， $S_{△ A P B}$ 的值最大．

$∴$ 当 $m = \frac{1}{2}$ 时， $- m^{2} = - \frac{1}{4}$ ， $S_{Δ A P B} = - \frac{3}{2} m^{2} + \frac{3}{2} m + 3 = 3 \frac{3}{8}$ ，

即 $△ P A B$ 面积的最大值为 $3 \frac{3}{8}$ ，此时点P的坐标为 $(\frac{1}{2}$ ， $- \frac{1}{4})$

江西省上饶市广信区第七中学2020-2021学年九年级上学期数学第一次月考试卷