解：如图1，

由题意：点 $D (3 ， 0)$ ，

$∴ O D = 3$ ，

设 $P (m ， - \frac{1}{4} m^{2} + \frac{3}{2} m + 4)$ ， $(m > 0 ， - \frac{1}{4} m^{2} + \frac{3}{2} m + 4 > 0)$

$∵ C (0 ， 4)$ ，

$∴$ 直线PC的解析式可表示为： $y = (- \frac{1}{4} m + \frac{3}{2}) x + 4$ ，

设直线PC与对称轴的交点为E，则点 $E (3 ， - \frac{3}{4} m + \frac{17}{2})$ ，

$∴ D E = - \frac{3}{4} m + \frac{17}{2}$ ，

$∵ S_{△ A B C} = \frac{1}{2} \times A B \times O C$ ，

$∴ S_{△ A B C} = \frac{1}{2} \times 10 \times 4 = 20$ ，

$∵ S_{△ C D P} = \frac{11}{20} S_{△ A B C}$ ，

$∴ \frac{1}{2} \times (- \frac{3}{4} m + \frac{17}{2}) \times m = \frac{11}{20} \times 20$ ，

$∴ m_{1} = 4$ 或 $m_{2} = \frac{22}{3}$ ；

$(3) K$ 是抛物线上一个动点，在平面直角坐标系中是否存在点H，使B、C、K、H为顶点的四边形成为矩形？若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，说明理由.

解：若BC为边， $∠ C B K = 90 °$ 时，如图2，将BC绕点B逆时针旋转 $90 °$ 得到BC"

$∴ B C = B C "$ ， $∠ C B C " = 90 °$ ，

$∴ ∠ C B O + ∠ C " = 90 °$ ， $∠ C B O + ∠ O C B = 90 °$ ，

$∴ ∠ O C B = ∠ E B C "$ ，且 $B C = B C "$ ， $∠ B E C " = ∠ B O C = 90 °$ ，

$∴ △ B C O$ ≌ $△ B C " E (A A S)$

$∴ B E = O C = 4$ ， $O B = E C " = 8$ ，

$∴$ 点 $C " (4 ， - 8)$ ，且 $B (8 ， 0)$

$∴$ 直线 $B C "$ 解析式为： $y = 2 x - 16$ ，

$∴ 2 x - 16 = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + 4$ ，

$∴ x_{1} = - 10$ ， $x_{2} = 8$ ，

$∴$ 点 $K (- 10 ， - 36)$ ，

$∵ x_{C} - x_{B} = x_{Q} - x_{K}$ ，

$∴ 0 - 8 = x_{Q} - (- 10)$ ，

$∴ x_{Q} = - 18$ ，

$∵ y_{C} - y_{B} = y_{Q} - y_{K}$ ，

$∴ y_{Q} = - 32$ ，

$∴$ 点 $Q (- 18 ， - 32)$ ，

若BC为边， $∠ B C K = 90 °$ 时，

同理可求：直线CK的解析式为： $y = 2 x + 4$ ，

$∴ 2 x + 4 = - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + 4$ ，

$∴ x_{1} = - 2$ ， $x_{2} = 0$ ，

$∴$ 点K坐标 $(- 2 ， 0)$

$∵ x_{C} - x_{B} = x_{K} - x_{Q}$ ，

$∴ 0 - 8 = - 2 - x_{Q}$ ，

$∴ x_{Q} = - 6$ ，

$∵ y_{C} - y_{B} = y_{K} - y_{Q}$ ，

$∴ y_{Q} = - 4$ ，

$∴$ 点 $Q (6 ， - 4)$ ，

若BC为对角线，

$∵ B$ 、C、K、H为顶点的四边形成为矩形，

$∴ B C = K H$ ，BC与KH互相平分，

$∵ B (8 ， 0)$ ， $C (0 ， 4)$

$∴ B C$ 中点坐标 $(4 ， 2)$ ， $B C = \sqrt{{OB}^{2} + {OC}^{2}} = \sqrt{64 + 16} = 4 \sqrt{5}$ ，

设点 $K (x ， - \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + 4)$

$∴ {(x - 4)}^{2} + {(- \frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{2} x + 4 - 2)}^{2} = {(2 \sqrt{5})}^{2}$ ，

$∴ x {(x - 2)}^{2} (x - 8) = 0$ ，

$∴ x_{1} = 0$ ， $x_{2} = 2$ ， $x_{3} = 8$ ，

$∴ K (2 ， 6)$ ，且KQ的中点坐标 $(4 ， 2)$ ，

$∴$ 点 $Q (6 ， - 2)$

综上所述：点Q坐标为 $(6 ， - 4)$ ， $(6 ， - 2)$ ， $(- 18 ， - 32)$ .

浙江省绍兴市越城区2021届九年级上学期数学期末考试卷