解：如图，

设 $∠ C B O = ∠ C A D = ∠ 1$ ， $∠ A B O = ∠ 2$ ， $∠ B A O = ∠ 3$ ， $∠ C A O = ∠ 4$ ，

则 $∠ 1 + ∠ 2 = 60^{\circ}$ ①， $∠ 2 + ∠ 3 = 180^{\circ} - 110^{\circ} = 70^{\circ}$ ②， $∠ 3 + ∠ 4 = 60^{\circ}$ ③，

① $-$ ② $+$ ③，得： $∠ 1 + ∠ 4 = 50^{\circ}$ ，

即 $∠ D A O = 50^{\circ}$ ，

Ⅰ：要使 $A O = A D$ ，需 $∠ A O D = ∠ A D O$ ，

$∴$ $360^{\circ} - 110^{\circ} - 60^{\circ} - α = α - 60^{\circ}$ ，

$∴$ $α = 125^{\circ}$ ；

Ⅱ：要使 $O A = O D$ ，需 $∠ O A D = ∠ A D O$ ，

$∴$ $α - 60^{\circ} = 50^{\circ}$ ，

$∴$ $α = 110^{\circ}$ ；

Ⅲ：要使 $O D = A D$ ，需 $∠ O A D = ∠ A O D$ ，

$∴$ $360^{\circ} - 110^{\circ} - 60^{\circ} - α = 50^{\circ}$ ，

$∴$ $α = 140^{\circ}$

$∴$ 当 $α$ 为 $125^{\circ}$ 、 $110^{\circ}$ 、 $140^{\circ}$ 时， $△ A O D$ 是等腰三角形．

甘肃省庆阳市镇原县庙渠初级中学2020-2021学年八年级上学期期末数学试题（一）