证明：取

B D

的中点为

O

，连接

O A

，

O E

.

因为 $B D ⊥ C D$ ， $B C = 4$ ， $C D = 2$ ， $A B = A D$

所以 $B D = 2 \sqrt{3}$ ， $O B = \sqrt{3}$ .

又 $A B = A D = 2$ ，所以 $B D ⊥ A O$ ，且 $A O = 1$ .

在 $△ A O E$ 中， $E O = \frac{1}{2} C D = 1$ ， $A E = \sqrt{2}$ ，

所以 $A O^{2} + O E^{2} = A E^{2}$ ，即 $O E ⊥ A O$ ，从而 $C D ⊥ A O$

又 $C D ⊥ B D$ ， $B D \cap A O = O$ ，所以 $C D ⊥$ 平面 $A B D$ .

因为 $C D \subset$ 平面 $A C D$ ，所以平面 $A C D ⊥$ 平面 $A B D$

湖南名校教育联盟五市十校教研教改共同体2020-2021学年高三上学期数学11月大联考试卷