解：易知直线AF∥平面A₁B₁C₁D₁，AF

\subset

平面AFM ．因为平面AFM∩平面A₁B₁C₁D₁=l，所以AF∥l．所以直线l与平面B₁D₁E所成的角，即直线AF与平面B₁D₁E所成的角．

以D(0，0，0) 为坐标原点建立如图空间直角坐标系，则

A(2，0，0)， F(1，2，0)， D₁(0，0，4)， B₁(2，2，4)， E(0，0，2)，

所以 $\vec{D_{1} B_{1}}$ =(2，2，0)， $\vec{D_{1} E}$ =(0，2，-2)， $\vec{A F}$ =(-1，2，0)

设平面B₁D₁E的一个法向量为 $\vec{m}$ =(x，y，z)，

由 ${\begin{cases} \vec{m} \cdot \vec{D_{1} B_{1}} = 0 \\ \vec{m} \cdot \vec{D_{1} E} = 0 \end{cases}$ $\Rightarrow$ ${\begin{cases} 2 x + 2 y = 0 \\ 2 y - 2 z = 0 \end{cases}$

令z=1 $\Rightarrow$ $\vec{m}$ =(-1，1，1)，

设直线l与平面B₁D₁E所成的角a，

所以sina= $\frac{| \vec{m} \cdot \vec{A F} |}{| \vec{m} | \cdot | \vec{A F} |} = \frac{3}{\sqrt{5} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

所以直线l与平面B₁D₁E所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

四川省成都市2021届高三理数第一次诊断性检测试卷