解：如图，连接

Q E

、

Q O

．

在 $R t Δ B P Q$ 中， $E Q$ 是 $R t Δ B P Q$ 斜边 $B P$ 边上的中线，

∴ $E Q = \frac{1}{2} B P$ ，同理， $E O = \frac{1}{2} B P$

∴ $E Q = E O$ ，即 $Δ E Q O$ 是等腰三角形．

又 $E F$ 是 $Δ E Q O$ 的中线，

∴ $E F ⊥ O Q$ ．

∴ $∠ Q F E = 90 °$ ，

∵ $O Q$ ∥ $B P$ ，

∴ $∠ G E P = ∠ Q F E = 90 °$ ，

又 $∠ B P Q = ∠ G P E$ ，

∴ $Δ B P Q$ ∽ $Δ G P E$ ，

∴ $\frac{P G}{P B} = \frac{P E}{P Q}$ ，

∴ $P E \cdot P B = P G \cdot P Q$ ，

∵ $P E = \frac{1}{2} P B$ ，

∴ $\frac{1}{2} P B \cdot P B = P G \cdot P Q$

∴ $P B^{2} = 2 P G \cdot P Q$ ．

福建省惠安县第二教学联盟2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷