解：①如图1中，在PO的延长线上取一点E，使NQ＝OE，

∵CN＝OM＝OC＝MN，∠COM＝90°，

∴四边形OMNC是正方形，

∴CO＝CN，

∵∠EOC＝∠N＝90°，

∴△COE≌△CNQ（SAS），

∴CQ＝CE，∠ECO＝∠QCN，

∵∠PCQ＝45°，

∴∠QCN+∠OCP＝90°﹣45°＝45°，

∴∠ECP＝∠ECO+∠OCP＝45°，

∴∠ECP＝∠PCQ，

∵CP＝CP，

∴△ECP≌△QCP（SAS），

∴EP＝PQ，

∵EP＝EO+OP＝NQ+OP，

∴PQ＝OP+NQ．

②如图2中，过C作CE∥SR，在x轴负半轴上取一点E′，使OE′＝EN，得▱CSRE，且△CEN≌△CE′O，则CE＝SR，

过C作CF∥GH交OM于F，连接FE，得▱CFGH，则CF＝GH＝ $\frac{5 \sqrt{5}}{2}$ ，

∵∠SDG＝135°，

∴∠SDH＝180°﹣135°＝45°，

∴∠FCE＝∠SDH＝45°，

∴∠NCE+∠OCF＝45°，

∵△CEN≌△CE′O，

∴∠E′CO＝∠ECN，CE＝CE′，

∴∠E′CF＝∠E′CO+∠OCF＝45°，

∴∠E′CF＝∠FCE，

∵CF＝CF，

∴△E′CF≌△ECF（SAS），

∴E′F＝EF

在Rt△COF中，OC＝5，FC＝ $\frac{5 \sqrt{5}}{2}$ ，

由勾股定理得：OF＝ $\sqrt{{(\frac{5 \sqrt{5}}{2})}^{2} - 5^{2}}$ ＝ $\frac{5}{2}$ ，

∴FM＝5﹣ $\frac{5}{2}$ ＝ $\frac{5}{2}$ ，

设EN＝x，则EM＝5﹣x，FE＝E′F＝x+ $\frac{5}{2}$ ，

则（x+ $\frac{5}{2}$ ）²＝（ $\frac{5}{2}$ ）²+（5﹣x）²，

解得：x＝ $\frac{5}{3}$ ，

∴EN＝ $\frac{5}{3}$ ，

由勾股定理得：CE＝ $\sqrt{C N^{2} + E N^{2}} = \sqrt{5^{2} + {(\frac{5}{3})}^{2}}$ ＝ $\frac{5 \sqrt{10}}{3}$ ，

∴SR＝CE＝ $\frac{5 \sqrt{10}}{3}$ ．

湖南省长沙市开福区青竹湖湘一外国语学2019-2020学年八年级上学期数学期末试卷