解：∠AOB是定值，∠AOB＝60°．理由如下：

①当点D在线段AM上时，如图1，

由（2）可知△ACD≌△BCE，则∠CBE＝∠CAD＝30°，又∠ABC＝60°，∴∠CBE+∠ABC＝60°+30°＝90°．

∵△ABC是等边三角形，线段AM为BC边上的中线，∴AM平分∠BAC，即 $∠ B A M = \frac{1}{2} ∠ B A C = \frac{1}{2} \times 60 ° = 30 °$ ，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．

②当点D在线段AM的延长线上时，如图2．

∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACB+∠DCB＝∠DCB+∠DCE，∴∠ACD＝∠BCE．

在△ACD和△BCE中，∵ ${\begin{matrix} A C = B C \\ ∠ A C D = ∠ B C E \\ C D = C E \end{matrix}$ ，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠CAD＝30°．

由（1）得：∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．

③当点D在线段MA的延长线上时．

∵△ABC与△DEC都是等边三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠ACD+∠ACE＝∠BCE+∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE．

在△ACD和△BCE中，∵ ${\begin{matrix} A C = B C \\ ∠ A C D = ∠ B C E \\ C D = C E \end{matrix}$ ，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CBE＝∠CAD．

由（1）得：∠CAM＝30°，∴∠CBE＝∠CAD＝150°，∴∠CBO＝30°，∠BAM＝30°，∴∠BOA＝90°﹣30°＝60°．

综上所述：当动点D在直线AM上时，∠AOB是定值，∠AOB＝60°．

上海外国语大学附浦东外国语学校2020-2021学年八年级上学期数学期中试卷