解：如图所示，过

A_{1}

作

A_{1} N

垂直对称轴交对称轴于点

N

，

设对称轴与 $x$ 轴交于点 $M$ ，

∵ $y = - x^{2} - 2 x + 3 = - {(x + 1)}^{2} + 4$ ，

∴抛物线的对称轴为 $x = - 1$ .

设点 $P$ 的坐标为 $(- 1 ， m)$ ，由题可知 $P A = P A_{1}$ ， $∠ A P A_{1} = 90^{\circ}$ ，

则 $∠ N P A_{1} + ∠ M P A = ∠ N A_{1} P + ∠ N P A_{1} = 90^{\circ}$ ，

∴ $∠ N A_{1} P = ∠ M P A$ .

在 $△ A_{1} N P$ 和 $△ A P M$ 中，

${\begin{array}{l} ∠ A_{1} N P = ∠ P M A ， \\ ∠ N A_{1} P = ∠ M P A ， \\ P A_{1} = A P ， \end{array}$

∴ $△ A_{1} N P ≅ △ P M A (A A S)$ ，

∴ $A_{1} N = P M = | m |$ ， $P N = A M = 2$ .

下面分两种情况讨论．

①当 $m \geq 0$ 时，点 $A_{1}$ 的坐标为 $(m - 1 ， m + 2)$ ，

代入抛物线解析式可得 $m + 2 = - {(m - 1)}^{2} - 2 (m - 1) + 3$ ，

解得 $m = 1$ 或 $m = - 2$ （舍去），

∴此时点 $P_{1}$ 的坐标为 $(- 1 ， 1)$ ；

②当 $m < 0$ 时，点 $A_{2}$ 的坐标为 $(m - 1 ， m + 2)$ ，

代入抛物线解析式可得 $m + 2 = - {(m - 1)}^{2} - 2 (m - 1) + 3$ ，

解得 $m = 1$ （舍去）或 $m = - 2$ ，

∴此时点 $P_{2}$ 的坐标为 $(- 1 ， - 2)$ ．

综上所述，点 $P$ 的坐标为 $(- 1 ， 1)$ 或 $(- 1 ， - 2)$ ．

广东省惠州市惠城区四校联考2020-2021学年九年级上学期数学12月月考试卷