解：如图，过点

C

作直线

B C

的垂线，且交

A B

于点

M

.

以 $C$ 为坐标原点，以 $C M$ ， $C B$ ， $C C_{1}$ 分别为 $x$ 轴， $y$ 轴， $z$ 轴建立如图所示空间直角坐标系，则有 $C (0 ， 0 ， 0)$ ， $A (\sqrt{3} ， - 1 ， 0)$ ， $B (0 ， 4 ， 0)$ ， $D (\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{3}{2} ， 0)$ ， $B_{1} (0 ， 4 ， 6)$ ， $A_{1} (\sqrt{3} ， - 1 ， 6)$ ，

∴ $\vec{C A_{1}} = (\sqrt{3} ， - 1 ， 6)$ ， $\vec{C D} = (\frac{\sqrt{3}}{2} ， \frac{3}{2} ， 0)$ ， $\vec{C B_{1}} = (0 ， 4 ， 6)$ .

设平面 $B_{1} C D$ 的一个法向量 $\vec{m} = (x ， y ， z)$ ，有 ${\begin{cases} \vec{m} \cdot \vec{C D} = \frac{\sqrt{3}}{2} x + \frac{3}{2} y = 0 \\ \vec{m} \cdot \vec{C B_{1}} = 4 y + 6 z = 0 \end{cases}$ ，取 $x = 3 \sqrt{3}$ ， $y = - 3$ ， $z = 2$ ，

∴ $\vec{m} = (3 \sqrt{3} ， - 3 ， 2)$ .

∴ $\cos 〈 \vec{C A_{1}} ， \vec{m} 〉 = \frac{\sqrt{3} \times 3 \sqrt{3} + (- 1) \times (- 3) + 6 \times 2}{\sqrt{{(\sqrt{3})}^{2} + {(- 1)}^{2} + 6^{2}} \times \sqrt{{(3 \sqrt{3})}^{2} + {(- 3)}^{2} + 2^{2}}} = \frac{3}{5}$ ，

∴直线 $A_{1} C$ 与平面 $B_{1} C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{4}{5}$ .

吉林省通榆县一中2021届高三上学期理数期中考试试卷