解：①过点C作CP₁⊥OB，垂足为P₁，延长CP₁交⊙A于Q₁；

∵OA是半径，

∴ 弧OC=弧OQ₁，

∴OC=OQ₁，

∴△OCQ₁是等腰三角形；

又∵△AOC是等边三角形，

∴P₁O= $\frac{1}{2}$ OA=2；

②过A作AD⊥OC，垂足为D，延长DA交⊙A于Q₂，CQ₂与x轴交于P₂；

∵A是圆心，

∴DQ₂是OC的垂直平分线，

∴CQ₂=OQ₂，

∴△OCQ₂是等腰三角形；

过点Q₂作Q₂E⊥x轴于E，

在Rt△AQ₂E中，

∵∠Q₂AE=∠OAD= $\frac{1}{2}$ ∠OAC=30°，

∴Q₂E= $\frac{1}{2}$ AQ₂=2，AE=2 $\sqrt{3}$ ，

∴点Q₂的坐标（4+2 $\sqrt{3}$ ，-2）；

在Rt△COP₁中，

∵P₁O=2，∠AOC=60°，

∴CP₁＝2 $\sqrt{3}$ ，

∴C点坐标（2，2 $\sqrt{3}$ ）；

设直线CQ₂的关系式为y=kx+b，则

${\begin{matrix} - 2 = (4 + 2 \sqrt{3}) k + b \\ 2 \sqrt{3} = 2 k + b \end{matrix}$ ，解得 ${\begin{matrix} k = - 1 \\ b = 2 + 2 \sqrt{3} \end{matrix}$ ，

∴y=-x+2+2 $\sqrt{3}$ ；

当y=0时，x=2+2 $\sqrt{3}$ ，

∴P₂O=2+2 $\sqrt{3}$ ．

内蒙古呼和浩特市剑桥中学2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷