证明：如图，延长DC，在上面找一点K，使得CK=AP，连接BK

∵ $∠ A B C + ∠ A D C = 180 °$

∴ $∠ B A D + ∠ B C D = 180 °$

∵ $∠ B C D + ∠ B C K = 180 °$

∴ $∠ B A D = ∠ B C K$

在△BPA和△BCK中

${\begin{matrix} A P = C K \\ ∠ B A P = ∠ B C K \\ A B = B C \end{matrix}$

∴△BPA≌△BCK（SAS）

∴ $∠ 1 = ∠ 2$ ，BP=BK

∵PQ=AP+CQ

∴PQ=QK

在△PBQ和△BKQ中

${\begin{matrix} B P = B K \\ B Q = B Q \\ P Q = K Q \end{matrix}$

∴△PBQ≌△BKQ（SSS）

∴ $∠ P B Q = ∠ K B Q$

∴ $∠ P B Q = ∠ 2 + ∠ C B Q = ∠ 1 + ∠ C B Q$

∴ $∠ P B Q = \frac{1}{2} ∠ A B C$

∵ $∠ A B C + ∠ A D C = 180 °$

∴ $∠ A B C = 180 ° - ∠ A D C$

∴ $\frac{1}{2} ∠ A B C = 90 ° - \frac{1}{2} ∠ A D C$

∴ $∠ P B Q = 90 ° - \frac{1}{2} ∠ A D C$

广东省中山市华南师范大学中山附属中学2020-2021学年八年级上学期数学期中试卷