解：①如图1，延长CF交BA延长线于点M，

在△CFD和△MFA中，

${\begin{matrix} \begin{array}{l} ∠ D = ∠ F A M \\ D F = A F \end{array} \\ ∠ C F D = ∠ A F M \end{matrix}$ ，

∴△CFD≌△MFA（ASA），

∴CD＝MA＝AB＝a，

∵BP⊥CF，

∴AP为Rt△MPB斜边BM上的中线，是斜边的一半，

即AP＝ $\frac{1}{2}$ BM＝ $\frac{1}{2}$ ×2a＝a；

∵CP⊥BE，

∴CP×BE＝CE×BC＝ $\frac{1}{2}$ a²，

∵BE＝ $\sqrt{C E^{2} + B C^{2}}$ ＝ $\sqrt{(\frac{1}{2} a^{2}) + a^{2}}$ ＝ $\frac{\sqrt{5}}{2}$ a，

∴CP＝ $\frac{C E \times B C}{B E} = \frac{\frac{1}{2} a^{2}}{\frac{\sqrt{5}}{2} a}$ ＝ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ a.

②如图2，连接DP，EF，

∵点E，F分别是CD，AD的中点，

∴DE＝ $\frac{1}{2}$ CD，DF＝ $\frac{1}{2}$ AD，

∵正方形ABCD中，AD＝DC，∠D＝90°，

∴DE＝DF，

∴∠DEF＝∠DFE＝45°，

∵∠D＝∠EPF＝90°，

∴D、F、P、E四点共圆，

∴∠DPF＝∠DEF＝45°

广东省湛江市霞山职业高级中学2020-2021学年九年级上学期数学期中考试试卷