解：如图，连接MP、HP，

设 $A E = E M = F M = A F = 4 m$ ．

则 $B M = 3 m$ ， $F B = 5 m$ ，

∴ $4 m + 5 m = 20$ ，解得 $m = \frac{20}{9}$

∴ $A E = E M = \frac{80}{9}$

∴ $E C = A C - A E = 16 - \frac{80}{9} = \frac{64}{9}$ ，

∴ $C M = \sqrt{E M^{2} - E C^{2}} = \frac{16}{3}$

∵ $Q H = 4$ ， $A Q = \frac{16}{3}$

∴ $Q C = \frac{32}{3}$

设 $P Q = x$ ，

①当 $△ H Q P ∽ △ M C P$ 时，

∴ $\frac{Q H}{C M} = \frac{P Q}{P C}$ ， $\frac{4}{\frac{16}{3}} = \frac{x}{\frac{32}{3} - x}$

解得： $x = \frac{32}{7}$

∴ $P Q = \frac{32}{7}$ ，

②当 $△ H Q P ∽ △ P C M$ 时， $\frac{Q H}{P C} = \frac{P Q}{C M}$ ， $\frac{4}{\frac{32}{3} - x} = \frac{x}{\frac{16}{3}}$

解得： $x = 8$ 或 $\frac{8}{3}$ ．

∴ $P Q = 8$ 或 $\frac{8}{3}$ ．

综上所述，满足条件 $P Q$ 的值为 $\frac{32}{7}$ 或8或 $\frac{8}{3}$ ．

四川成都武侯区四川大学附属中学2020-2021学年九年级上学期数学10月月考试卷