解：作

O E ⊥ B C

，垂足为

E

，

在直角三角形 $O B E$ 中， $B E = O B \sin \frac{θ}{2} = \sin \frac{θ}{2}$ ，

则有 $B C = A D = 2 \sin \frac{θ}{2}$ ，

同理作 $O F ⊥ C D$ ，垂足为 $F$ ， $C F = O C \cos θ = \cos θ$ ，

即： $C D = 2 \cos θ$ ，

从而有： $l = 2 + 4 \sin \frac{θ}{2} + 2 \cos θ = - 4 \sin^{2} \frac{θ}{2} + 4 \sin \frac{θ}{2} + 4 = - 4 {(\sin \frac{θ}{2} - \frac{1}{2})}^{2} + 5$

当 $θ = \frac{π}{3}$ 时， $l$ 取最大值5，即观光通道长 $l$ 的最大值为5km.
（2）现要在农庄内种植经济作物，其中在 $Δ A O D$ 中种植鲜花，在 $Δ O C D$ 中种植果树，在扇形 $C O B$ 内种植草坪，已知种植鲜花和种植果树的利润均为 $2$ 百万元/km²，种植草坪利润为 $1$ 百万元/km²，则当 $θ$ 为何值时总利润最大？

解：依题意， $S_{Δ A O D} = \frac{1}{2} \sin θ ， S_{Δ C O D} = \frac{1}{2} \sin 2 θ ， S_{扇形 O B C} = \frac{1}{2} θ$ ，则总利润 $S (θ) = \sin θ + \sin 2 θ + \frac{1}{2} θ$ ，

$S' (θ) = \cos θ +2 \cos 2 θ + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} (4 \cos θ + 3) (2 \cos θ - 1)$ ，

因为 $θ \in (0 ， \frac{π}{2})$ ，所以当 $θ \in (0 ， \frac{π}{3})$ 时， $S (θ)$ 单调递增，当 $θ \in (\frac{π}{3} ， \frac{π}{2})$ 时， $S (θ)$ 单调递减，

从而当 $θ = \frac{π}{3}$ 时，总利润取得最大值，最大值为 $S = (\sqrt{3} + \frac{π}{6})$ 百万元

湖北省黄冈市2020-2021学年高三上学期数学9月质量检测试卷