解：①如图，

由（1）可知， $m = \frac{2 S_{△ A B C}}{C_{△ A B C}}$ ， $n = \frac{A C + B C + A B}{2}$ ，即 $n = \frac{C_{△ A B C}}{2}$ ，

由这两个式子可得 $S_{△ A B C} = m n$ ；

②如图，设点D、E、F分别是3个切点，连接PD、PE、PF、CP，

由切线长定理得 $C D = C E = \frac{C D + C E}{2} = \frac{A D + A C + B E + B C}{2} = \frac{A C + B C + A B}{2} = \frac{C_{△ A B C}}{2}$ ，

∵ $P D ⊥ C D$ ， $P E ⊥ B C$ ，

∴ $C P$ 平分 $∠ A C B$ ，

∴ $∠ P C E = 30 °$ ，

∴ $n = P E = C E \cdot \tan 30 ° = \frac{\sqrt{3}}{3} C E = \frac{\sqrt{3}}{3} \times \frac{C_{△ A B C}}{2} = \frac{\sqrt{3} C_{△ A B C}}{6}$ ，

∵ $m = \frac{2 S_{△ A B C}}{C_{△ A B C}}$ ，

∴ $S_{△ A B C} = \frac{m C_{△ A B C}}{2} = \sqrt{3} m n$ .

江苏省南京市新城中学2021届九年级上学期数学第一次月考试卷