解：如图，连接

O P

，

设点 $P (x ， \frac{1}{2} x^{2} + x - 4)$ ，

$- 4 < x < 0$ ，四边形 $A B P C$ 的面积为S，

由题意得点 $C (0 ， - 4)$ ，

∴ $S = S_{Δ A O C} + S_{Δ O C P} + S_{Δ O B P}$

$= \frac{1}{2} \times 2 \times 4 + \frac{1}{2} \times 4 \times (- x) + \frac{1}{2} \times 4 \times (- \frac{1}{2} x^{2} - x + 4)$

$= 4 - 2 x - x^{2} - 2 x + 8$

$= - x^{2} - 4 x + 12$

$= - {(x + 2)}^{2} + 16$ ，

∵ $- 1 < 0$ ，∴开口向下， $S$ 有最大值，

∴当 $x = - 2$ 时，四边形 $A B P C$ 的面积最大，最大值为16.

陕西省安康市旬阳县2020届九年级上学期数学期末考试试卷