解：∵过AC的平面交PD于点M若平面AMC把四面体P-ACD分成体积相等的两部分，

∴M为PD的中点．

设 $A C \cap B D = O$ ，以 $O$ 为原点， $O C$ 为 $x$ 轴， $O D$ 为 $y$ 轴，过 $O$ 点与 $x o y$ 面垂直的线为 $z$ 轴建立空间直角坐标系，

依题意可得 $B O = O D = \sqrt{3}$ ，AC=2，

$A (- 1 ， 0 ， 0)$ ， $C (1 ， 0 ， 0)$ ， $P (- 1 ， 0 ， 4)$ ， $D (0 ， \sqrt{3} ， 0)$ ， $M (- \frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2} ， 2)$ ，

设面 $A M C$ 的法向量为 $\vec{m} = (x ， y ， z)$ ，

$\vec{A M} = (\frac{1}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2} ， 2)$ ， $\vec{A C} = (2 ， 0 ， 0)$ ，

由 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{A M} = \frac{1}{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} y + 2 z = 0 \\ \begin{array}{l} \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{A C} = 2 x = 0 \end{array} \end{array}$ ⇒ $\vec{m} = (0 ， 4 ， - \sqrt{3})$

易知面 $A C D$ 的法向量为 $\vec{n} = (0 ， 0 ， 1)$ ，

$cos 〈 \vec{m} ， \vec{n} 〉 = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{| \vec{m} | \cdot | \vec{n} |} = \frac{- \sqrt{3}}{\sqrt{19} \times 1} = - \frac{\sqrt{57}}{19}$ ，

由图可知二面角 $M - A C - D$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{57}}{19}$ .

湖北省黄石市重点高中2019-2020学年高二上学期数学第二次联考试卷