解：如图：当

0 \leq t \leq 10

时，作

A M ⊥ B C

，交DG于N，交BC于M，

$∵ A B = A C = 10$

$∴ ∠ B A M = ∠ M A C$ .

又 $∵ ∠ B A C = 2 ∠ C B O$

$∴ ∠ N A D = ∠ C B O$

$∵ D G // B C$

$∴ ∠ A N D = ∠ C O B = 90 °$

$∴ △ C O B \sim △ D N A$

$∴ \frac{C O}{D N} = \frac{B O}{A N} = \frac{B C}{A D}$

$∵ B C = \sqrt{2^{2} + 6^{2}} = 2 \sqrt{10}$

$∴ \frac{A D}{D N} = \frac{2 \sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}$

设DN=m，则AD= $\sqrt{10} m$

OD= $8- \sqrt{10} m$ ，

当 $∠ C B D = 45 °$ 时

BH= $\sqrt{2} B M = 2 \sqrt{5}$ ，同理 $D H = \sqrt{2} D N = \sqrt{2} m$

在 $R t △ B O D$ 中， $B D^{2} = O B^{2} + O D^{2}$

即 ${(2 \sqrt{5} + \sqrt{2} m)}^{2} = 6^{2} + {(8 - \sqrt{10} m)}^{2}$

$2 m^{2} - 5 \sqrt{5} m + 20 = 0$

解得 $m_{1} = 2 \sqrt{10} ， m_{2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

$∴ A D = \sqrt{10} m=20$ (舍去)或 $A D = 5$

$∴ t = 5$

$∵ △ A D G \sim △ A C B$

$∴ \frac{S_{△ A D G}}{S_{△ A C B}} = {(\frac{5}{10})}^{2} = \frac{1}{4}$

$\frac{\frac{1}{2} \times 5 \times y_{G}}{\frac{1}{2} \times 10 \times 6} = \frac{1}{4}$

$y_{G} = 3$

$∴ x_{G} = 5$

$∴ G (5 ， 3)$

当t>10时，如图：

作 $A M ⊥ B C$ ，交DG于N，交BC于M，

$∵ A B = A C = 10$

$∴ ∠ B A M = ∠ M A C$ .

又 $∵ ∠ B A C = 2 ∠ C B O$

$∴ ∠ N A D = ∠ C B O$

$∵ D G // B C$

$∴ ∠ A N D = ∠ C O B = 90 °$

$∴ △ C O B \sim △ D N A$

$∴ \frac{C O}{D N} = \frac{B O}{A N} = \frac{B C}{A D}$

$∵ B C = \sqrt{2^{2} + 6^{2}} = 2 \sqrt{10}$

$∴ \frac{A D}{D N} = \frac{2 \sqrt{10}}{2} = \sqrt{10}$

设DN=m，则AD= $\sqrt{10} m$

OD= $\sqrt{10} m-8$ ，

当 $∠ C B D = 45 °$ 时

BH= $\sqrt{2} B M = 2 \sqrt{5}$ ，同理 $D H = \sqrt{2} D N = \sqrt{2} m$

在 $R t △ B O D$ 中， $B D^{2} = O B^{2} + O D^{2}$

即 ${(2 \sqrt{5} + \sqrt{2} m)}^{2} = 6^{2} + {(\sqrt{10} m - 8)}^{2}$

$2 m^{2} - 5 \sqrt{5} m + 20 = 0$

解得 $m_{1} = 2 \sqrt{10} ， m_{2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$

$∴ A D = \sqrt{10} m=20$ 或 $A D = 5$ (舍去)

$∴ t = 20$

$∵ △ A D G \sim △ A C B$

$∴ \frac{S_{△ A D G}}{S_{△ A C B}} = {(\frac{20}{10})}^{2} = 4$

$\frac{\frac{1}{2} \times 20 \times y_{G}}{\frac{1}{2} \times 10 \times 6} = 4$

$y_{G} = 12$

$∴ x_{G} = - 10$

$∴ G (- 10 ， 12)$

综上所述，当 $0 \leq t \leq 10$ 时， $t = 5$ ， $G (5 ， 3)$ ；当t>10时， $t = 20$ ， $G (- 10 ， 12)$ .

辽宁省沈阳虹桥中学2021届九年级上学期数学第一次月考试卷