解：∵将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，如图2，

∴PO’=PO=m，O’A’=OA=2，

∴O’(m，m)，A’(m+2，m)，

当A’(m+2，m)在抛物线上时，有 $- \frac{1}{4} {(m + 2)}^{2} + \frac{1}{2} (m + 2) + 2 = m$ ，

解得： $m = 3 \pm \sqrt{17}$ ，

当点O’(m，m)在抛物线上时，有 $- \frac{1}{4} m^{2} + \frac{1}{2} m + 2 = m$ ，

解得： $m = 2$ 或 $- 4$ ，

∴当 $- 3 - \sqrt{17} \leq m \leq - 4$ 或 $- 3 + \sqrt{17} \leq m \leq 2$ 时，线段O’A’与抛物线只有一个公共点.

故答案为： $- 3 - \sqrt{17} \leq m \leq - 4$ 或 $- 3 + \sqrt{17} \leq m \leq 2$ .

湖北省武汉市粮道街中学2021届九年级上学期数学10月月考试卷