解：如图，过点A作

A E ⊥ B C

，垂足为E，连接

D E

.

∵ $∠ A E B = ∠ A D C = 90 °$ ， $∠ B = ∠ A C D$ ，

∴ $Δ A B E ∽ Δ A C D$

∴ $\frac{A B}{A C} = \frac{A E}{A D}$ ， $∠ B A E = ∠ C A D$ ，

∴ $∠ B A C = ∠ E A D$ ，

∴ $Δ A B C ∽ Δ A E D$ ，

∴ $\frac{B C}{D E} = \frac{A C}{A D}$ ，

∴ $\frac{25}{D E} = \frac{20}{16}$ ，

∴ $D E = 20$ .

∵ $Δ A B E ∽ Δ A C D$ ，

∴ $\frac{A E}{A D} = \frac{B E}{C D}$ ，

∴ $\frac{A E}{B E} = \frac{16}{\sqrt{20^{2} - 16^{2}}} = \frac{4}{3}$ .

设 $A E = 4 k$ ，则 $B E = 3 k$ ， $C E = 25 - 3 k$ ，

在 $Δ A C E$ 中， ${(4 k)}^{2} + {(25 - 3 k)}^{2} = 20^{2}$ ，

解得 $k = 3$ ，

∴ $A E = 12$ .

又 $A D = 16$ ， $D E = 20$ ，

∴ $Δ A D E$ 是直角三角形， $∠ D A E = 90 °$ .

又 $∠ A E C = ∠ A D C = 90 °$ ，

∴四边形 $A E C D$ 是矩形.

甘肃省兰州市交通大学附属中学2021届九年级上学期数学10月月考试卷