证明：①∵

Δ A B C

是

⊙ O

的内接正三角形

∴ $∠ A B C = ∠ B A C = ∠ A C B = 60 °$

又∵点 $P$ 为 $\overset{⌢}{B C}$ 的中点

∴ $∠ B A P = \frac{1}{2} ∠ B A C = 30 °$ ∴ $∠ B C P = ∠ B A P = 30 °$

∴ $∠ A C P = ∠ B C P + ∠ A C B = 30 ° + 60 ° = 90 °$

∴ $A P$ 为 $⊙ O$ 的直径

即 $A ， O ， P$ 三点共线；

②延长 $B P$ 至 $E$ ，使 $P E = P C$ ，连接 $C E$ ，如图，

∵ $A$ 、 $B$ 、 $P$ 、 $C$ 四点共圆，

∴ $∠ B A C + ∠ B P C = 180 °$ ，

∵ $∠ B P C + ∠ E P C = 180 °$ ，

∴ $∠ B A C = ∠ C P E = 60 °$ ， $P E = P C$ ，

∴ $Δ P C E$ 是等边三角形，

∴ $C E = P C$ ， $∠ E = 60 °$ ；

又∵ $∠ B C E = 60 ° + ∠ B C P$ ， $∠ A C P = 60 ° + ∠ B C P$ ，

∴ $∠ B C E = ∠ A C P$ ，

∵ $Δ A B C$ 、 $Δ E C P$ 为等边三角形，

∴ $C E = P C$ ， $A C = B C$ ，

在 $Δ B E C$ 和 $Δ A P C$ 中， ${\begin{array}{l} C E = P C \\ ∠ B E C = ∠ A C P \\ B C = A C \end{array}$ ，

∴ $Δ B E C ≌ Δ A P C (S A S)$ ，

∴ $P A = B E = P B + P C$

浙江省杭州市实验外国语学校等三校2021届九年级上学期数学第二次月考试卷