解：将x=-1代入

y = \frac{1}{4} x^{2} + x

中，解得y=

- \frac{3}{4}

∴点B的坐标为（-1， $- \frac{3}{4}$ ）

过点B作BQ⊥BA，交AP于点Q，作BH⊥x轴于H，过点Q作QG⊥BH，交BH的延长线于点G

∴∠AHB=∠BGQ=∠ABQ=90°

∴∠ABH＋∠GCQ=90°，∠BQG＋∠GCQ=90°

∴∠ABH=∠BQG

∵∠PAB=45°，

∴△ABQ为等腰直角三角形

∴AB=BQ

∴△AHB≌△BGQ

∴QG=BH= $\frac{3}{4}$ ，BG=AH=-1－（-4）=3

∴GH=BG－BH= $\frac{9}{4}$

∴点Q的坐标为（-1＋ $\frac{3}{4}$ ， $\frac{9}{4}$ ）=（ $- \frac{1}{4}$ ， $\frac{9}{4}$ ）

设直线AQ的解析式为y=kx＋b

将点A和点Q的坐标分别代入，得

${\begin{cases} 0 = - 4 k + b \\ \frac{9}{4} = - \frac{1}{4} k + b \end{cases}$

解得： ${\begin{cases} k = \frac{3}{5} \\ b = \frac{12}{5} \end{cases}$

∴直线AQ的解析式为 $y = \frac{3}{5} x + \frac{12}{5}$

联立 ${\begin{cases} y = \frac{3}{5} x + \frac{12}{5} \\ y = \frac{1}{4} x^{2} + x \end{cases}$

解得： ${\begin{cases} x = \frac{12}{5} \\ y = \frac{96}{25} \end{cases}$ 或 ${\begin{cases} x = - 4 \\ y = 0 \end{cases}$ （符合点A的坐标）

∴点P的坐标为（ $\frac{12}{5}$ ， $\frac{96}{25}$ ）；

湖北省武汉市洪山区部分学校2021届九年级上学期数学10月月考试卷