解：在底面ABC内作EH⊥AC，以点E为坐标原点，EH，EC，

E A_{1}

方向分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系

E - x y z

.

设 $E H = 1$ ，则 $A E = E C = \sqrt{3}$ ， $A A_{1} = C A_{1} = 2 \sqrt{3}$ ， $B C = \sqrt{3} ， A B = 3$ ，

据此可得： $A (0 ， - \sqrt{3} ， 0) ， B (\frac{3}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2} ， 0) ， A_{1} (0 ， 0 ， 3) ， C (0 ， \sqrt{3} ， 0)$ ，

由 $\vec{A B} = \vec{A_{1} B_{1}}$ 可得点 $B_{1}$ 的坐标为 $B_{1} (\frac{3}{2} ， \frac{3}{2} \sqrt{3} ， 3)$ ，

利用中点坐标公式可得： $F (\frac{3}{4} ， \frac{3}{4} \sqrt{3} ， 3)$ ，由于 $E (0 ， 0 ， 0)$ ，

故直线EF的方向向量为： $\vec{E F} = (\frac{3}{4} ， \frac{3}{4} \sqrt{3} ， 3)$

设平面 $A_{1} B C$ 的法向量为 $\vec{m} = (x ， y ， z)$ ，则：

${\begin{matrix} \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{A_{1} B} = (x ， y ， z) \cdot (\frac{3}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2} ， - 3) = \frac{3}{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} y - 3 z = 0 \\ \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{B C} = (x ， y ， z) \cdot (- \frac{3}{2} ， \frac{\sqrt{3}}{2} ， 0) = - \frac{3}{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} y = 0 \end{matrix}$ ，

据此可得平面 $A_{1} B C$ 的一个法向量为 $\vec{m} = (1 ， \sqrt{3} ， 1)$ ， $\vec{E F} = (\frac{3}{4} ， \frac{3}{4} \sqrt{3} ， 3)$

此时 $\cos 〈 \vec{E F} ， \vec{m} 〉 = \frac{\vec{E F} \cdot \vec{m}}{| \vec{E F} | \times | \vec{m} |} = \frac{6}{\sqrt{5} \times \frac{3 \sqrt{5}}{2}} = \frac{4}{5}$ ，

设直线EF与平面 $A_{1} B C$ 所成角为 $θ$ ，则 $\sin θ = \cos 〈 \vec{E F} ， \vec{m} 〉 = \frac{4}{5} ， \cos θ = \frac{3}{5}$ .

陕西省咸阳市永寿中学2020-2021学年高三上学期理数开学考试试卷