解：解法一：在圆O所在平面过点O作BD的垂线交圆O于点E，以O为坐标原点，OE为x轴，OD为y轴，OA为z轴，建立如图空间直角坐标系，

由题可知， $B (0 ， - 2 ， 0)$ ， $D (0 ， 2 ， 0)$ ， $A (0 ， 0 ， 2 \sqrt{3})$ ，

由 $O C = \sqrt{2}$ ， $∠ D O C = \frac{π}{4}$ ，

所以 $C (1 ， 1 ， 0)$ ，

设平面ACD的一个法向量为 $\vec{m} = (x ， y ， z)$ ，

因为 $\vec{A C} = (1 ， 1 ， - 2 \sqrt{3})$ ， $\vec{A D} = (0 ， 2 ， - 2 \sqrt{3})$ ，

所以 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \sqrt{3} z = 0 \\ 2 y - 2 \sqrt{3} z = 0 \end{array}$

取 $z = 1$ ，则 $\vec{m} = (\sqrt{3} ， \sqrt{3} ， 1)$ ，

平面ABD的一个法向量为 $\vec{n} = (1 ， 0 ， 0)$ ，

所以 $\cos 〈 \vec{m} ， \vec{n} 〉 = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{| \vec{m} | | \vec{n} |} = \frac{\sqrt{21}}{7}$ ，

二面角 $B - A D - C$ 的平面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{7}$ .

解法二：过点O作 $O F ⊥ A D$ 交于F.过F作 $F H ⊥ A D$ 交DC于H，连接HO，

所以 $∠ O F H$ 为二面角 $B - A D - C$ 的平面角，

在 $Rt Δ O F D$ 中，因为 $A D = 4$ ， $∠ F O D = \frac{π}{6}$ ，

所以 $F D = 1$ ， $O F = \sqrt{3}$ ，

因为 $Rt Δ H F D \sim Rt Δ A C D$ ，

所以 $\frac{H F}{D F} = \frac{A C}{C D}$ ，即 $H F = \sqrt{7}$

则 $H D = 2 \sqrt{2}$ ，

C是HD的中点，

所以 $O H = 2$ ，

在 $Δ O F H$ 中， $O H^{2} = O F^{2} + F H^{2} - 2 O F \times F H \cos ∠ O F H$ ，

即 $4 = {(\sqrt{3})}^{2} + {(\sqrt{7})}^{2} - 2 \sqrt{3} \times \sqrt{7} \cos ∠ O F H$ ，

所以 $\cos ∠ O F H = \frac{\sqrt{21}}{7}$ .

四川省泸州市2019-2020学年高三上学期理数第一次教学质量诊断性考试试卷