解：当

a > 0

，如图所示，

令 $f (x) = \frac{a^{2}}{4}$ ，得 $x = \frac{a}{2}$ 或 $x = \frac{\sqrt{2} + 1}{2} a$

①当 $\frac{a}{2} \geq 1$ ，即 $a \geq 2$ 时， $g (a) = f (1) = a - 1$

②当 $\frac{a}{2} < 1 < \frac{\sqrt{2} + 1}{2} a$ ，即 $2 (\sqrt{2} - 1) < a < 2$ 时， $g (a) = f (\frac{a}{2}) = \frac{a^{2}}{4}$

③当 $\frac{\sqrt{2} + 1}{2} a \leq 1$ ，即 $0 < a \leq 2 (\sqrt{2} - 1)$ 时， $g (a) = f (1) = 1 - a$

综上， $g (a) = {\begin{matrix} 1 - a ， a \leq 2 (\sqrt{2} - 1) \\ \frac{a^{2}}{4} ， 2 (\sqrt{2} - 1) < a < 2 \\ a - 1 ， a \geq 2 \end{matrix}$

显然当 $a = 2 (\sqrt{2} - 1)$ 时， $g (a)$ 取最小值.

湖北省鄂州市颚南高中2019-2020学年高三上学期理数10月月考试卷