当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，

∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，

∴四边形ABDC为等腰梯形，

∴∠CAO=∠DBA，即点D满足条件，

∴D（3，2）；

当点D在x轴下方时，

∵∠DBA=∠CAO，

∴BD∥AC，

∵C（0，2），

∴可设直线AC解析式为y=kx+2，把A（-1，0）代入可求得k=2，

∴直线AC解析式为y=2x+2，

∴可设直线BD解析式为y=2x+m，把B（4，0）代入可求得m=-8，

∴直线BD解析式为y=2x-8，

联立直线BD和抛物线解析式可得 ${\begin{array}{l} y = 2 x - 8 \\ y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{3}{2} x + 2 \end{array}$ 解得 ${\begin{array}{l} x = 4 \\ y = 0 \end{array}$ 或 ${\begin{array}{l} x = - 5 \\ y = - 18 \end{array}$ ，

∴D（-5，-18）；

综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（-5，-18）；

湖南省长沙市天心区明德教育集团2019-2020学年九年级上学期数学期中试卷