解：如图2，在圆

O

中，

$∵ ∠ E = ∠ B$ ，

∴由(1)可知： $∠ E = ∠ B = ∠ C$ ，

$∴ △ E D C$ 是等腰三角形，

$∵ D H ⊥ A C$ ，且点 $A$ 是 $E H$ 中点，

设 $A E = x$ ， $E C = 4 x$ ，则 $A C = 3 x$ ，

连接 $A D$ ，则在圆 $O$ 中， $∠ A D B = 90 °$ ， $A D ⊥ B D$ ，

$∵ A B = A C$ ，

$∴ D$ 是 $B C$ 的中点，

$∴ O D$ 是 $△ A B C$ 的中位线，

$∴ O D / / A C ， O D = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} \times 3 x = \frac{3 x}{2}$

$∵ O D / / A C$ ，

$∴ ∠ E = ∠ O D F$ ，

在 $△ A E F$ 和 $△ O D F$ 中，

$∵ ∠ E = ∠ O D F$ ， $∠ O F D = ∠ A F E$ ，

$∴ △ A E F ~ △ O D F$ ，

$∴ \frac{E F}{F D} = \frac{A E}{O D}$ ，

$∴ \frac{A E}{O D} = \frac{x}{\frac{3}{2} x} = \frac{2}{3}$

$∴ \frac{E F}{F D} = \frac{2}{3}$

湖南省长沙市青竹湖湘一外国语学校2019-2020学年九年级上学期数学期中试卷