①连接

C M

，如图：

由中心对称可知 $A M = B M$ ，

由轴对称可知 $B M = C M$ ，

∴ $A M = C M = B M$

∴ $∠ M A C = ∠ A C M$ ， $∠ M B C = ∠ M C B$

$∵ ∠ M A C + ∠ A C M + ∠ M B C + ∠ M C B = 180^{°}$ ，

$∴ ∠ A C M + ∠ M C B = 90^{°}$

$∴ ∠ A C B = 90^{°}$

$∴ Δ A B C$ 是直角三角形；

②过 $C$ 点作 $C F ⊥ A E$ 于点 $F$ ，如图：

∵ $A (1 ， 0)$ ， $C (5 ， 3)$ ， $A F = 4$ ， $C F = 3$ ，

$∴$ 在直角三角形 $Δ A C F$ 中， $A C = 5$

$∵ M N / / A C$

∴△BMN∽△BAC

$∴ \frac{M N}{A C} = \frac{B M}{B A}$

$∴$ $\frac{M N}{5} = \frac{1}{2}$

$M N = \frac{5}{2}$

湖南省永州市新田县2019-2020学年九年级上学期数学期中试卷