解：建立如图所示空间直角坐标系

D - x y z

，

设 $A B = 2$ ，则 $A (0 ， \sqrt{3} ， 0)$ ， $B_{1} (0 ， 0 ， \sqrt{3})$ ， $C_{1} (2 ， 0 ， \sqrt{3})$ ， $∴ \vec{B A} = (1 ， \sqrt{3} ， 0)$ ， $∴ \vec{D A} = (0 ， \sqrt{3} ， 0)$ ， $∴ \vec{D C_{1}} = (2 ， 0 ， \sqrt{3})$ ，设平面 $A D C_{1}$ 的法向量为 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ ，则 ${\begin{array}{l} \sqrt{3} y = 0 \\ 2 x + \sqrt{3} z = 0 \end{array}$ ，取 $x = - \sqrt{3}$ 得 $\vec{n} = (- \sqrt{3} ， 0 ， 2)$ ， $∴ | \cos < \vec{B A} ， \vec{n} > | = | \frac{\vec{B A} \cdot \vec{n}}{| \vec{B A} | | \vec{n} |} | = | \frac{- \sqrt{3}}{2 \times \sqrt{7}} | = \frac{\sqrt{21}}{14}$ ，

即直线 $A B$ 与平面 $A D C_{1}$ 所成的角的正弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{14}$ .

湖南省天壹名校联盟2019-2020学年高三上学期理数12月大联考试卷