存在，理由：

点A、B、C的坐标分别为（﹣3，0）、（4，0）、（0，4），

则AC＝5，AB＝7，BC＝4 $\sqrt{2}$ ，∠OBC＝∠OCB＝45°，

将点B（4，0）、C（0，4）的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b

得 ${\begin{array}{l} 0 = 4 k + b \\ b = 4 \end{array}$

解得 ${\begin{array}{l} k = - 1 \\ b = 4 \end{array}$

∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4…①，

设直线AC的解析式为y=mx+n

把点A（﹣3，0）、C（0，4）代入得 ${\begin{array}{l} 0 = - 3 m + n \\ n = 4 \end{array}$

解得 ${\begin{array}{l} m = \frac{4}{3} \\ n = 4 \end{array}$

∴直线AC的表达式为：y＝ $\frac{4}{3}$ x+4，

设直线AC的中点为K（﹣ $\frac{3}{2}$ ，2），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为﹣ $\frac{3}{4}$ ，

设过点K与直线AC垂直直线的表达式为y＝﹣ $\frac{3}{4}$ x+q

把K（﹣ $\frac{3}{2}$ ，2）代入得2=﹣ $\frac{3}{4}$ ×（﹣ $\frac{3}{2}$ ）+q

解得q= $\frac{7}{8}$

∴y＝﹣ $\frac{3}{4}$ x+ $\frac{7}{8}$ …②，

①当AC＝AQ时，如图1，

则AC＝AQ＝5，

设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，

由勾股定理得：（7﹣n）²+n²＝25，解得：n＝3或4（舍去4），

故点Q（1，3），

②当AC＝CQ时，如图1，

CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4 $\sqrt{2}$ ﹣5，

则QM＝MB＝ $\frac{8 - 5 \sqrt{2}}{2}$ ，

故点Q（ $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ ， $\frac{8 - 5 \sqrt{2}}{2}$ ）.

③当CQ＝AQ时，

联立①②， ${\begin{array}{l} y = - x + 4 \\ y = - \frac{3}{4} x + \frac{7}{8} \end{array}$ ，

解得，x＝ $\frac{25}{2}$ （舍去），

综上所述点Q的坐标为：Q（1，3）或Q（ $\frac{5 \sqrt{2}}{2}$ ， $\frac{8 - 5 \sqrt{2}}{2}$ ）.

贵州省铜仁市2020年数学中考模拟试卷（5月）