解：

由题意可得， $A B = 5$ ， $C B = 2 \sqrt{5}$ ， $C A = \sqrt{5}$ ，

因为在 $△ A B C$ 中， $A B^{2} = B C^{2} + A C^{2}$ ，故 $∠ A C B = 90^{°} ， C B = 2 C A$ .

由 $y = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x - 2 = \frac{1}{2} {(x - \frac{3}{2})}^{2} - \frac{25}{8}$ ，得顶点 $D (\frac{3}{2} ， - \frac{25}{8})$ .

因为 $L_{2}$ 的顶点P在直线 $x = \frac{3}{2}$ 上，点Q在 $L_{1}$ 上，

∴ $∠ P D Q$ 不可能是直角.

第一种情况：当 $∠ D P Q = 90^{°}$ 时，

①如图2，当 $△ Q D P ∽ △ A B C$ 时，则得 $\frac{Q P}{D P} = \frac{A C}{B C} = \frac{1}{2}$ .

设 $Q (x ， \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x - 2)$ ，则 $P (\frac{3}{2} ， \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x - 2)$ ，

∴ $D P = (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x - 2) - (- \frac{25}{8}) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{9}{8} ， Q P = x - \frac{3}{2}$ .

由 $\frac{Q P}{D P} = \frac{1}{2}$ 得 $2 x - 3 = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{9}{8}$ ，解得 $x_{1} = \frac{11}{2} ， x_{2} = \frac{3}{2}$ .

∵ $x = \frac{3}{2}$ 时，点Q与点P重合，不符合题意，

∴舍去，此时 $P (\frac{3}{2} ， \frac{39}{8})$ .

②如图3，当 $△ D Q P ∽ △ A B C$ 时，则得 $\frac{D P}{Q P} = \frac{A C}{B C} = \frac{1}{2}$ .

设 $Q (x ， \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x - 2)$ ，则 $P (\frac{3}{2} ， \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x - 2)$ .

∴ $D P = (\frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x - 2) - (- \frac{25}{8}) = \frac{1}{2} x^{2} - \frac{3}{2} x + \frac{9}{8} ， Q P = x - \frac{3}{2}$ .

由 $\frac{D P}{Q P} = \frac{1}{2}$ 得 $x - \frac{3}{2} = x^{2} - 3 x + \frac{9}{4}$ ，解得 $x_{1} = \frac{5}{2} ， x_{2} = \frac{3}{2}$ （舍），此时 $P (\frac{3}{2} ， - \frac{21}{8})$ .

第二种情况：当 $∠ D Q P = 90^{°}$ 时，

①如图4，当 $△ P D Q ∽ △ A B C$ 时，则得 $\frac{P Q}{D Q} = \frac{A C}{B C} = \frac{1}{2}$ .

过Q作 $Q M ⊥ P D$ 交对称轴于点M，∴ $△ Q D M ∽ △ P D Q$ .

∴ $\frac{Q M}{D M} = \frac{P Q}{D Q} = \frac{1}{2}$ .由图2可知 $M (\frac{3}{2} ， \frac{39}{8}) ， Q (\frac{11}{2} ， \frac{39}{8})$ ，

∴ $M D = 8 ， M Q = 4$ .

∴ $Q D = 4 \sqrt{5}$ ，又 $\frac{Q D}{D M} = \frac{P D}{D Q}$ ，代入得 $P D = 10$ .

∵点 $D (\frac{3}{2} ， - \frac{25}{8})$ ，

∴点 $P (\frac{3}{2} ， \frac{55}{8})$ .

②如图5，当 $△ D P Q ∽ △ A B C$ 时，则 $\frac{D Q}{P Q} = \frac{A C}{B C} = \frac{1}{2}$ .

过Q作 $Q M ⊥ P D$ 交对称轴于点M，

∴ $△ Q D M ∽ △ P D Q$ ，则 $\frac{Q M}{D M} = \frac{P Q}{D Q} = 2$ .

由图3可知 $M (\frac{3}{2} ， - \frac{21}{8})$ ， $Q (\frac{5}{2} ， - \frac{21}{8})$ ，

∴ $M D = \frac{1}{2}$ ， $M Q = 1$ ，

∴ $Q D = \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

又 $\frac{Q D}{D M} = \frac{P D}{D Q}$ ，代入得 $P D = \frac{5}{2}$ .

∵点 $D (\frac{3}{2} ， - \frac{25}{8})$ ，

∴点 $P (\frac{3}{2} ， - \frac{5}{8})$ ，

综上所述， $P_{1} (\frac{3}{2} ， \frac{39}{8})$ 或 $P_{2} (\frac{3}{2} ， - \frac{21}{8})$ 或 $P_{3} (\frac{3}{2} ， \frac{55}{8})$ 或 $P_{4} (\frac{3}{2} ， - \frac{5}{8})$ .

2020年江苏省中考数学分类汇编专题08 二次函数