解：存在，理由：

点A、B、C的坐标分别为（﹣4，0）、（3，0）、（0，4），

则BC＝5，AB＝7，AC＝4 $\sqrt{2}$ ，∠OAC＝∠OCA＝45°，

将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n并解得： ${\begin{array}{l} m = - \frac{4}{3} \\ n = 4 \end{array}$ ，

∴直线BC的解析式为y＝﹣ $\frac{4}{3}$ x+4，

设BC的中点为H，由中点坐标公式可得H（ $\frac{3}{2} ， 2$ ），

∴过BC的中点H且与直线BC垂直直线的表达式为：y＝ $\frac{3}{4} x + \frac{7}{8}$ ，

①当BC＝BQ时，如图1，

∴BC＝BQ＝5，

设：QM＝AM＝n，则BM＝7﹣n，

由勾股定理得：（7﹣n）²+n²＝25，

解得：n＝3或4（舍去4），

故点Q₁（﹣1，3）；

②当BC＝CQ时，如图1，

∴CQ＝5，

则AQ＝AC﹣CQ＝4 $\sqrt{2} - 5$ ，

∴ $Q M = A M = \frac{8 - 5 \sqrt{2}}{2}$ ，

∴ $Q_{2} (- \frac{5}{2} \sqrt{2} ， \frac{8 - 5 \sqrt{2}}{2})$ ，

③当CQ＝BQ时，

联立直线AC解析式y＝x+4和y＝ $\frac{3}{4} x + \frac{7}{8}$ ，

解得x＝﹣ $\frac{25}{2}$ （不合题意，舍去），

综合以上可得点Q的坐标为：Q（﹣1，3）或（ $- \frac{5}{2} \sqrt{2} ， \frac{8 - 5 \sqrt{2}}{2}$ ）

辽宁省抚顺市新宾满族自治县2020届九年级上学期数学10月月考试卷