解：

∠ A K C = \frac{1}{2} ∠ A P C

如图2，过K作 $K E // A B$

$∵ A B // C D$

$∴ K E // A B // C D$

$∴ ∠ A K E = ∠ B A K ， ∠ C K E = ∠ D C K$

$∴ ∠ A K C = ∠ A K E + ∠ C K E = ∠ B A K + ∠ D C K$

过点P作 $P F // A B$

同理可得 $∠ A P C = ∠ B A P + ∠ D C P$

$∵ ∠ B A P$ 与 $∠ D C P$ 的角平分线相交于点K

$∴ ∠ B A K + ∠ D C K = \frac{1}{2} ∠ B A P + \frac{1}{2} ∠ D C P = \frac{1}{2} (∠ B A P + ∠ D C P) = \frac{1}{2} ∠ A P C ，$

$∴ ∠ A K C = \frac{1}{2} ∠ A P C$

浙江省绍兴市柯桥区杨汛桥中学教育集团2020-2021学年八年级上学期数学开学试卷