解：∵

P A ⊥

平面

A B C D

，

∴ $P A ⊥ B D$ .

又∵ $A B C D$ 是正方形，∴ $A C ⊥ B D$ .

∴ $B D ⊥$ 平面 $P A C$ .

以点 $A$ 为坐标原点， $\vec{A B}$ ， $\vec{A D}$ ， $\vec{A P}$ 分别为 $x$ ， $y$ ， $z$ 轴的正向建立空间直角坐标系，

各点坐标如下： $A (0 ， 0 ， 0)$ ， $B (2 ， 0 ， 0)$ ， $C (2 ， 2 ， 0)$ ， $D (0 ， 2 ， 0)$ ， $P (0 ， 0 ， 2)$ ， $E (0 ， 1 ， 1)$ .

设平面 $A C E$ 的法向量为 $\vec{n} = (x_{0} ， y_{0} ， z_{0})$ ，

则 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{A C} = 2 x_{0} + 2 y_{0} = 0 \\ \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{A E} = y_{0} + z_{0} = 0 \end{array} \Rightarrow {\begin{array}{l} x_{0} = 1 \\ y_{0} = - 1 \\ z_{0} = 1 \end{array}$ ，

∴ $\vec{n} = (1 ， - 1 ， 1)$ .

∵ $B D ⊥$ 平面 $P A C$ ， $\vec{B D} = (- 2 ， 2 ， 0)$ ，

∴取平面 $P A C$ 的法向量为 $\vec{m} = (- 1 ， 1 ， 0)$ ，

$\cos < \vec{m} ， \vec{n} > = \frac{- 1 - 1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = - \frac{\sqrt{6}}{3}$ ，

∴二面角 $P - A C - E$ 的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ .

湖南省长沙市望城区第二中学2019-2020学年高二上学期数学第二次月考试卷