解：由条件易知DO⊥BO，BO⊥AC．

OA＝OC＝OD＝2， OB＝ $2 \sqrt{3}$

如图，以点O为坐标原点，OA为x轴， OB为y轴，OC为z轴建立空间直角坐标系．

则 $A (2 ， 0 ， 0)$ ， $B (0 ， 2 \sqrt{3} ， 0)$ ， $C (- 2 ， 0 ， 0)$ ，

$D (0 ， 0 ， 2)$ ， $E (0 ， \sqrt{3} ， 1)$ ，

$\vec{A E} = (- 2 ， \sqrt{3} ， 1)$ ， $\vec{A D} = (- 2 ， 0 ， 2)$ ， $\vec{A C} = (- 4 ， 0 ， 0)$ ．

设平面ADE的一个法向量为 $\vec{n} = (x_{1} ， y_{1} ， z_{1})$ ，

则 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{A D} = 0 ， \\ \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{A E} = 0 ， \end{array}$ 即 ${\begin{array}{l} - 2 x_{1} + 2 z_{1} = 0 ， \\ - 2 x_{1} + \sqrt{3} y_{1} + z_{1} = 0 ， \end{array}$

令 $z_{1} = 1$ ，则 $x_{1} = 1 ， y_{1} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ，所以 $\vec{n} = (1 ， \frac{\sqrt{3}}{3} ， 1)$ ．

同理可得平面AEC的一个法向量 $\vec{m} = (0 ， - 1 ， \sqrt{3})$ ．

$\cos < \vec{m} ， \vec{n} > = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{| \vec{m} | \cdot | \vec{n} |} = \frac{1 \times 0 + \frac{\sqrt{3}}{3} \times (- 1) + 1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{1 + \frac{1}{3} + 1} \cdot \sqrt{0 + 1 + 3}} = \frac{\sqrt{7}}{7}$ ．

因为二面角D-AE-C的平面角为锐角，所以二面角D-AE-C的余弦值为 $\frac{\sqrt{7}}{7}$

福建省三明市三地三校2019-2020学年高二上学期数学联考协作卷试题试卷