解：①如图1，延长

E D

交

B C

于

F

，

$D F = b - a$ ， $B F = a$ ，

在 $R t △ D H B$ 中由勾股定理得， $a^{2} + {(b - a)}^{2} = c^{2}$ ，

又∵ $c = \frac{\sqrt{5}}{2} a$ ，

∴ $(a - 2 b) (3 a - 2 b) = 0$ ，

∴ $a = 2 b$ 或 $3 a = 2 b$ ，

又∵ $a < b$ ，

∴ $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ；

②由根与系数的关系 $a + b = m$ ， $a b = \frac{1}{25} m^{2} - \frac{2}{5} m + \frac{3}{5}$ ，

由 $a + b = m$ ， $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ ，

解得 $a = \frac{2}{5} m$ ， $b = \frac{3}{5} m$ ，

∴ $\frac{6}{25} m^{2} = \frac{1}{25} m^{2} - \frac{2}{5} m + \frac{3}{5}$ ，

整理得， $m^{2} + 2 m - 3 = 0$ ，

解得 $m_{1} = - 3$ ， $m_{2} = 1$ ，

∵ $a + b = m > 0$ ，

∴ $m = 1$ ，

当 $m = 1$ 时，方程为 $x^{2} - x + \frac{6}{25} = 0$ ，这个方程有两个不相等的正根，

∴ $m = 1$ 符合题意，

∴ $m = 1$ ；

湖北省武汉第三寄宿学校2020届九年级上学期数学开学试卷