解：

H

为

P D

上任意一点，连接

A H

，

E H

，

由（1）知 $A E ⊥$ 平面 $P A D$ ，则 $∠ E H A$ 为 $E H$ 与平面 $P A D$ 所成的角，

在 $R T △ E A H$ 中， $A E = \sqrt{3}$ ，

$∴$ 当 $A H$ 最短时，即当 $A H ⊥ P D$ 时， $∠ E H A$ 最大．

此时 $\tan ∠ E H A = \frac{A E}{A H} = \frac{\sqrt{3}}{A H} = \frac{\sqrt{6}}{2}$ ， $∴$ $A H = \sqrt{2}$ ，

又 $∵ A D = 2$ ， $∴ ∠ A D H = 45 °$ ， $∴ P A = 2$

$∵ P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P A \subset$ 平面 $P A C$ ，

$∴$ 平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C D$ ，

过E作 $E O ⊥ A C$ 于O，则 $E O ⊥$ 平面 $P A C$ ，

过O作 $O S ⊥ A F$ 于 $S$ ，连接 $E S$ ，则 $∠ E S O$ 为二面角 $E - A F - C$ 的平面角，

在 $R T △ A O E$ 中， $E O = A E \cdot \sin 30^{0} = \frac{\sqrt{3}}{2} ， A O = A E \cdot \cos 30^{0} = \frac{3}{2}$ ，

又 $F$ 是 $P C$ 的中点，在 $R T △ A S O$ 中， $S O = A O \cdot \sin 45^{0} = \frac{3 \sqrt{2}}{4}$ ，

又 $S E = \sqrt{E O^{2} + S O^{2}} = \frac{\sqrt{30}}{4}$ ，

在 $R T △ E S O$ 中， $\cos ∠ E S O = \frac{S O}{S E} = \frac{\sqrt{15}}{5}$

即所求二面角的余弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ．

黑龙江省七台河市第一中学2019-2020学年高一下学期理数期末考试试卷