解：以D为原点，

D A

为x轴，

D B

为y轴，过D作平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则 $B (0 ， \sqrt{3} ， 0) ， C (- 1 ， \sqrt{3} ， 0) ， A^{'} (0 ， 0 ， 1)$ ，

假设点 $M$ 存在，设 $A^{'} M = λ A^{'} C ， λ \in [0 ， 1]$ ，

则 $\vec{A^{'} M} = λ \vec{A^{'} C} = (- λ ， \sqrt{3} λ ， - λ) ， \vec{D M} = \vec{D A^{'}} + \vec{A^{'} M} = (- λ ， \sqrt{3} λ ， 1 - λ) ， \vec{D B} = (1 - λ ， 0 ， λ)$ ，

设平面 $M B D$ 的一个法向量为 $\vec{m} = (a ， b ， c)$ ，

则 ${\begin{array}{l} \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{D B} = \sqrt{3} b = 0 \\ \overset{⇀}{m} \cdot \overset{⇀}{D M} = - λ a + \sqrt{3} λ b + (1 - λ) c = 0 \end{array}$ ，取 $a = 1 - λ$ ，可得 $\vec{m} = (1 - λ ， 0 ， λ)$ ，

平面 $C B D$ 的一个法向量为 $\vec{n} = (0 ， 0 ， 1)$ ，

假设在线段 $A^{'} C$ 上存在点 $M$ ，使得二面角 $M - B D - C$ 的大小为 $45^{\circ}$ ，

则 $| \cos 〈 \vec{m} ， \vec{n} 〉 | = \frac{| \vec{m} \cdot \vec{n} |}{| \vec{m} | \cdot | \vec{n} |} = \frac{| λ |}{1 \times \sqrt{{(1 - λ)}^{2} + λ^{2}}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，解得 $λ = \frac{1}{2}$ ，

所以点M存在，且点M是线段 $A^{'} C$ 的中点

广东省广州市八区2019-2020学年高二下学期数学期末教学质量检测是