解：以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，

∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BCE，

①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，

由（1）得：点A（-2，0），B（0，-4），C（4，0），

∴OB=OC=4，

$A B = \sqrt{O A^{2} + O B^{2}} = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = 2 \sqrt{5}$ ，

$B C = \sqrt{O C^{2} + O B^{2}} = \sqrt{4^{2} + 4^{2}} = 4 \sqrt{2}$ ，

∴∠OBC=∠OCB=45°，

∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，

∴∠ABE=∠ACB=45°，

∴△ABE∽△ACB，

∴ $\frac{A B}{A C} = \frac{A E}{A B}$ ，

∴ $\frac{2 \sqrt{5}}{6} = \frac{A E}{2 \sqrt{5}}$ ，

解得： $A E = \frac{10}{3}$ ， $O E = A E - A O = \frac{10}{3} - 2 = \frac{4}{3}$ ，

点 $E$ 的坐标为（ $\frac{4}{3}$ ，0）；

设直线BE的解析式为 $y = k_{1} x - 4$ ，

把点E（ $\frac{4}{3}$ ，0）代入得， $k_{1} = 3$ ，

∴直线BE的解析式为 $y = 3 x - 4$ ，

解方程组 ${\begin{matrix} y = 3 x - 4 \\ y = \frac{1}{2} x^{2} - x - 4 \end{matrix}$ 得： ${\begin{matrix} x_{1} = 0 \\ y_{1} = - 4 \end{matrix}$ (舍去)或 ${\begin{matrix} x_{2} = 8 \\ y_{2} = 20 \end{matrix}$ ，

∴点D的坐标为（8，20）；

②当△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，此时E在C的左边，

∵∠BEA=∠BEC，

∴当∠ABE=∠BCE时，△ABE∽△BCE，

∴ $\frac{A B}{B C} = \frac{B E}{C E} = \frac{2 \sqrt{5}}{4 \sqrt{2}}$ ，

设 $B E = 2 \sqrt{5} n$ ， $C E = 4 \sqrt{2} n$ ，

Rt△BOE中，由勾股定理得： $B E^{2} = O E^{2} + O B^{2}$ ，

∴ ${(2 \sqrt{5} n)}^{2} = {(4 \sqrt{2} n - 4)}^{2} + 4^{2}$ ，

即 $3 n^{2} - 8 \sqrt{2} n + 8 = 0$ ，即 $(n - 2 \sqrt{2}) (3 n - 2 \sqrt{2}) = 0$ ，

∴ $n_{1} = 2 \sqrt{2}$ ， $n_{2} = \frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ，

∴ $O E = 4 \sqrt{2} n - 4 = 12$ 或 $\frac{4}{3}$ ，

∵ $O E = \frac{4}{3} < 2$ ，∠AEB或∠BEC是钝角，如图4，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，

∴E（-12，0）；

同理得BE的解析式为： $y = - \frac{1}{3} x - 4$ ，

解方程组 ${\begin{matrix} y = - \frac{1}{3} x - 4 \\ y = \frac{1}{2} x^{2} - x - 4 \end{matrix}$ 得： ${\begin{matrix} x_{1} = 0 \\ y_{1} = - 4 \end{matrix}$ (舍去)或 ${\begin{matrix} x_{2} = \frac{4}{3} \\ y_{2} = - \frac{40}{9} \end{matrix}$ ，

∴点D的坐标为（ $\frac{4}{3}$ ， $- \frac{40}{9}$ ）；

同理可得E在C的右边时，△ABE∽△BCE，

∴ $\frac{A B}{B C} = \frac{A E}{B E} = \frac{2 \sqrt{5}}{4 \sqrt{2}}$ ，

设 $A E = 2 \sqrt{5} a$ ， $B E = 4 \sqrt{2} a$ ，

Rt△BOE中，由勾股定理得： $B E^{2} = O E^{2} + O B^{2}$ ，

∴ ${(4 \sqrt{2} a)}^{2} = {(2 \sqrt{5} a - 2)}^{2} + 4^{2}$ ，

即 $3 a^{2} + 2 \sqrt{5} a - 5 = 0$ ，即 $(a + \sqrt{5}) (3 a - \sqrt{5}) = 0$ ，

∴ $a_{1} = - \sqrt{5}$ ， $a_{2} = \frac{\sqrt{5}}{3}$ ，

∴ $O E = - 12$ (舍去)或 $\frac{4}{3}$ ，

∵ $O E = \frac{4}{3} < 4$ ，∠BEC是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，

综上，点D的坐标为（8，20）或（ $\frac{4}{3}$ ， $- \frac{40}{9}$ ）.

辽宁省鞍山市华育高新区学校2020年数学中考三模试卷（7月）