解：扇形的圆心角为钝角

α

，如图所示

可得 $α = \frac{2 π}{3}$ ，

所以扇形内切圆半径 $r$ 与扇形半径 $R$ 之间的关系为

$\sin \frac{α}{2} = \frac{r}{R - r}$ ， $\frac{r}{R - r} = \sin \frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

所以 $\frac{R}{r} = \frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

所以此扇形与其内切圆的面积之比为：

$\frac{S_{1}}{S_{2}} = \frac{\frac{1}{2} α R^{2}}{π r^{2}} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times {(\frac{2 + \sqrt{3}}{\sqrt{3}})}^{2} = \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{9}$ .

2021高考一轮复习 第十四讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数

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