解：设与直线AM平行的直线方程为：

x - 2 y = m

，

如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取得最大值.

联立直线方程 $x - 2 y = m$ 与椭圆方程 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ ，

可得： $3 {(m + 2 y)}^{2} + 4 y^{2} = 48$ ，

化简可得： $16 y^{2} + 12 m y + 3 m^{2} - 48 = 0$ ，

所以 $Δ = 144 m^{2} - 4 \times 16 (3 m^{2} - 48) = 0$ ，即m²=64，解得m=±8，

与AM距离比较远的直线方程： $x - 2 y = 8$ ，

直线AM方程为： $x - 2 y = - 4$ ，

点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，

利用平行线之间的距离公式可得： $d = \frac{8 + 4}{\sqrt{1 + 4}} = \frac{12 \sqrt{5}}{5}$ ，

由两点之间距离公式可得 $| A M | = \sqrt{{(2 + 4)}^{2} + 3^{2}} = 3 \sqrt{5}$ .

所以△AMN的面积的最大值： $\frac{1}{2} \times 3 \sqrt{5} \times \frac{12 \sqrt{5}}{5} = 18$ .

2020年高考数学真题分类汇编专题11：平面解析几何（综合题）