解：①连接PD，过D作DE⊥AB于E，BD交PQ于G，

∵点A、C的坐标分别为（-1，0）、（0，2），

∴AO=1，CO=2，

∴ $A C = \sqrt{A O^{2} + C O^{2}} = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}$ ，

∵BD关于直线 $m$ 对称，AP=t，

∴BP=PD=AB-AP=6-t，PQ⊥BD，BG=DG，

∵PQ∥AC，

∴∠CAO=∠BPG，

∴ $R t △ C A O \sim R t △ B P G$

∴ $\frac{C A}{B P} = \frac{C O}{B G}$ ，即 $\frac{\sqrt{5}}{6 - t} = \frac{2}{B G}$ ，

∴ $B G = \frac{2 (6 - t)}{\sqrt{5}}$ ，则 $B D = \frac{4 (6 - t)}{\sqrt{5}}$ ，

∵ $R t △ C A O \sim R t △ B P G$

∴∠ACO=∠PBG，

∴ $R t △ C A O \sim R t △ B D E$

∴ $\frac{C A}{B D} = \frac{C O}{B E} = \frac{A O}{D E}$ ，即 $\frac{\sqrt{5}}{\frac{4 (6 - t)}{\sqrt{5}}} = \frac{2}{B E} = \frac{1}{D E}$ ，

∴ $B E = \frac{48}{5} - \frac{8}{5} t$ ， $D E = \frac{24}{5} - \frac{4}{5} t$ ，

∴ $O E = 5 - B E = - \frac{23}{5} + \frac{8}{5} t$ ，

∴点 $D$ 的坐标为（ $- \frac{23}{5} + \frac{8}{5} t$ ， $\frac{24}{5} - \frac{4}{5} t$ ），

当P在点B的右侧时，如图，

同理可得 $B E = \frac{48}{5} - \frac{8}{5} t$ ， $D E = \frac{24}{5} - \frac{4}{5} t$ ，

∴ $O E = 5 + B E = \frac{73}{5} + \frac{8}{5} t$ ，

此时，点 $D$ 的坐标为（ $\frac{73}{5} + \frac{8}{5} t$ ， $- \frac{24}{5} + \frac{4}{5} t$ ），

综上，点 $D$ 的坐标为（ $- \frac{23}{5} + \frac{8}{5} t$ ， $\frac{24}{5} - \frac{4}{5} t$ ）或（ $\frac{73}{5} + \frac{8}{5} t$ ， $- \frac{24}{5} + \frac{4}{5} t$ ）；

②存在，理由如下：

由①知PQ⊥BD，BG=DG，

∵四边形BPDF为菱形，

∴DF=BP，DF∥BP，

抛物线 $y = - \frac{2}{5} x^{2} + \frac{8}{5} x + 2$ 的对称轴为 $x = - \frac{b}{2 a} = 2$ ，

∵点 $D$ 在对称轴上，且点 $P$ 在线段 $A B$ 上，如图：

∴ $- \frac{23}{5} + \frac{8}{5} t = 2$ ，

解得： $t = \frac{33}{8}$ ，

∴ $\frac{24}{5} - \frac{4}{5} t = \frac{24}{5} - \frac{4}{5} \times \frac{33}{8} = \frac{3}{2}$ ，

∴点 $D$ 的坐标为（ $2$ ， $\frac{3}{2}$ ）， $D F = B P = 6 - t = \frac{15}{8}$ ，

∴点F的坐标为（ $2 + \frac{15}{8}$ ， $\frac{3}{2}$ ），即（ $\frac{31}{8}$ ， $\frac{3}{2}$ ）．

山西省兴县三中2019年中考数学三模试卷