解：如图建立空间直角坐标系，

则 $E (0 ， 0 ， 0) ， A (0 ， - 1 ， 0) ， B (1 ， - 1 ， 0) ， C (1 ， 0 ， 0)$ ， $D (0 ， 1 ， 0)$ ， $P (0 ， 0 ， \sqrt{3})$ ，由已知 $\vec{C F} = \frac{3}{5} \vec{C D}$ ，得 $F (\frac{2}{5} ， \frac{3}{5} ， 0)$ ，

$\vec{P B} = (1 ， - 1 ， - \sqrt{3}) ， \vec{P F} = (\frac{2}{5} ， \frac{3}{5} ， - \sqrt{3})$

设平面 $P B F$ 的法向量为 $\vec{n} = (x ， y ， z)$ ，则

${\begin{array}{l} \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{P B} = x - y - \sqrt{3} z = 0 \\ \overset{⇀}{n} \cdot \overset{⇀}{P F} = \frac{2}{5} x + \frac{3}{5} y - \sqrt{3} z = 0 \end{array}$

令 $z = \sqrt{3}$ ，则 $x = \frac{24}{5} ， y = \frac{9}{5}$ ，

∴ $\vec{n} = (\frac{24}{5} ， \frac{9}{5} ， \sqrt{3})$

由（1）知平面 $P A D$ 的法向量可取为 $\vec{m} = (1 ， 0 ， 0)$

∴ $| \cos < \vec{m} ， \vec{n} > | = | \frac{\frac{24}{5}}{\sqrt{{(\frac{24}{5})}^{2} + {(\frac{9}{5})}^{2} + {(\sqrt{3})}^{2}}} | = \frac{4 \sqrt{183}}{61}$

∴平面 $P A D$ 与平面 $P B F$ 所成的锐二面角的余弦值为 $\frac{4 \sqrt{183}}{61}$ .

内蒙古赤峰市2020届高三下学期理数模拟考试试卷