解：解法一：

令 $B C = D C = E C = a$ ，则 $A B = B D = \sqrt{2} a$ ，

那么 $E F = \frac{1}{2} A B = \frac{\sqrt{2}}{2} a$ ， $C F = \frac{1}{2} B D = \frac{\sqrt{2}}{2} a$ ，

所以 $E F^{2} + C F^{2} = a^{2} = E C^{2}$ ，所以 $E F ⊥ C F$ .

又 $E F ⊥ B D$ ， $C F ⊥ B D$ ，故可以以点F为原点，射线 $F C$ 、 $F D$ 、 $F E$ 分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示.

则 $B (0 ， - \frac{\sqrt{2}}{2} a ， 0)$ ， $C (\frac{\sqrt{2}}{2} a ， 0 ， 0)$ ， $D (0 ， \frac{\sqrt{2}}{2} a ， 0)$ ， $E (0 ， 0 ， \frac{\sqrt{2}}{2} a)$ ，

所以 $\vec{B C} = (\frac{\sqrt{2}}{2} a ， \frac{\sqrt{2}}{2} a ， 0)$ ， $\vec{D C} = (\frac{\sqrt{2}}{2} a ， - \frac{\sqrt{2}}{2} a ， 0)$ ， $\vec{E C} = (\frac{\sqrt{2}}{2} a ， 0 ， - \frac{\sqrt{2}}{2} a)$ .

设平面 $B E C$ 、平面 $D E C$ 的法向量分别为 $\vec{m} = (x_{1} ， y_{1} ， z_{1})$ ， $\vec{n} = (x_{2} ， y_{2} ， z_{2})$ ，

由 ${\begin{array}{l} \vec{m} \cdot \overset{⇀}{B C} = 0 \\ \vec{m} \cdot \overset{⇀}{E C} = 0 \end{array}$ ，得 ${\begin{array}{l} \frac{\sqrt{2}}{2} a x_{1} + \frac{\sqrt{2}}{2} a y_{1} = 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} a x_{1} - \frac{\sqrt{2}}{2} a z_{1} = 0 \end{array}$ ，取 ${\begin{array}{l} x_{1} = 1 \\ y_{1} = - 1 \\ z_{1} = 1 \end{array}$ ，则 $\vec{m} = (1 ， - 1 ， 1)$ .

由 ${\begin{array}{l} \vec{n} \cdot \overset{⇀}{D C} = 0 \\ \vec{n} \cdot \overset{⇀}{E C} = 0 \end{array}$ ，得 ${\begin{array}{l} \frac{\sqrt{2}}{2} a x_{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} a y_{2} = 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} a x_{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} a z_{2} = 0 \end{array}$ ，取 ${\begin{array}{l} x_{1} = 1 \\ y_{1} = 1 \\ z_{1} = 1 \end{array}$ ，则 $\vec{n} = (1 ， 1 ， 1)$ .

所以 $\cos 〈 \vec{m} ， \vec{n} 〉 = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{| \vec{m} | | \vec{n} |} = \frac{1 \times 1 - 1 \times 1 + 1 \times 1}{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}} = \frac{1}{3}$ .

故平面 $B E C$ 与平面 $D E C$ 所成锐二面角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ .

解法二：

令 $B C = D C = E C = a$ ，由已知及（1）可得： $B E = E D = a$ ，

所以 $△ B C E$ ， $△ C D E$ 均为棱长为a的正三角形.

取 $C E$ 中点G，则 $B G ⊥ C E$ ， $D G ⊥ C E$ ，故 $∠ B G D$ 为二面角 $B - C E - D$ 的平面角，

在 $△ B E G$ 中， $B G = D G = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ ， $B D = \sqrt{2} a$ ，

由余弦定理可得： $\cos ∠ B G D = \frac{B G^{2} + D G^{2} - B D^{2}}{2 B G \times D G} = - \frac{1}{3}$ ，

故平面 $B E C$ 与平面 $D E C$ 所成锐二面角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ .

安徽省安庆市2020届高三理数第二次模拟考试试卷