解：如图2，取

A B

中点O，

C D

中点Q，连接

O Q

.

$∵ O A = O B ， C Q = D Q ， P A = P B$ ， $∴ P O ⊥ A B ， O Q ⊥ A B$ ，

$∵$ 平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，平面 $P A B \cap$ 平面 $A B C D = A B$ ，

$∴ P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $O Q ⊥$ 平面 $P A B$ ，

$∴ A B ， O Q ， O P$ 两两垂直.

以点O为坐标原点，向量 $\vec{O Q} ， \vec{O B} ， \vec{O P}$ 的方向分别为 $x ， y ， z$ 轴正方向建立如图所示空间直角坐标系.

由 $P A ⊥ P B ， A B = 2$ ，可得 $O A = O B = O P = 1 ， D Q = C Q = 2$ ，

在等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B = 2 ， C D = 4 ， A D = \sqrt{2}$ ，易知 $O Q = 1$ ，

$∴ O (0 ， 0 ， 0) ， A (0 ， - 1 ， 0) ， B (0 ， 1 ， 0) ， C (1 ， 2 ， 0) ， P (0 ， 0 ， 1) ， D (1 ， - 2 ， 0) ， E (\frac{1}{2} ， - 1 ， \frac{1}{2})$ .

则 $\vec{A P} = (0 ， 1 ， 1) ， \vec{A D} = (1 ， - 1 ， 0)$ ， $\vec{B C} = (1 ， 1 ， 0) ， \vec{E B} = (- \frac{1}{2} ， 2 ， - \frac{1}{2})$ ，

设平面 $P A D$ 的法向量为 $\vec{m} = (x ， y ， z)$ ，

则 ${\begin{cases} \vec{m} \cdot \vec{A P} = y + z = 0 \\ \vec{m} \cdot \vec{A D} = x - y = 0 \end{cases}$ ，取 $y = 1$ ，得 $\vec{m} = (1 ， 1 ， - 1)$ .

设平面 $E B C$ 的法向量为 $\vec{n} = (a ， b ， c)$ ，

则 ${\begin{cases} \vec{n} \cdot \vec{B C} = a + b = 0 \\ \vec{n} \cdot \vec{E B} = - \frac{1}{2} a + 2 b - \frac{1}{2} c = 0 \end{cases}$ ，取 $b = - 1$ ，得 $\vec{n} = (1 ， - 1 ， - 5)$ .

因为 $\vec{m} \cdot \vec{n} = 1 - 1 + 5 = 5$ ， $| \vec{m} | = \sqrt{3}$ ， $| \vec{n} | = 3 \sqrt{3}$ ，所以 $\cos 〈 \vec{m} ， \vec{n} 〉 = \frac{\vec{m} \cdot \vec{n}}{| \vec{m} | \cdot | \vec{n} |} = \frac{5}{\sqrt{3} \times 3 \sqrt{3}} = \frac{5}{9}$ ，

所以平面 $E B C$ 与平面 $P A D$ 所成的二面角的正弦值为 $\sqrt{1 - {(\frac{5}{9})}^{2}} = \sqrt{\frac{56}{81}} = \frac{2 \sqrt{14}}{9}$ .

安徽省“江南十校”2020届高三下学期理数4月综合素质检测试卷