设点P的坐标为(m，-m²+2m+3)，点Q的坐标为(-3，n)

①当点P在x轴上方时，过点P作PM垂直于y轴，交y轴于点M，过点B作BN垂直MP的延长线于点N，如图所示。

∵B(3，0)，

∵△PBQ是以点P为直角顶点的等腰直角三角形，

∴∠BPQ=90°，BP=PQ。

又∵∠BNP=90°，∠MPQ=∠NBP。

在△PQM和△BPN中， ${\begin{cases} ∠ P M Q = ∠ B N P \\ ∠ M P Q = ∠ N B P \\ P Q = B P \end{cases}$

∴△PQM≌△BPN(AAS)，

∴PM=BN．

∵PM=BN=-m²+2m+3，根据点B的坐标可得PN=3-m，且PM+PN=6，

∴-m²+2m+3+3-m=6，

解得m=1或m=0，

∴P点坐标为(1，4)或(0，3).

②当点P在x轴下方时，过点P作PM垂直l于点Ｍ，过点B作BN垂直MP的延长线于点N，如图所示。

同①可得△PQM≌△BPN，

∴PM=BN，

∴PM=6-(3-m)=3+m，BN=m²-2m-3，

则3+m=m²-2m-3，

解得m= $\frac{3 + \sqrt{33}}{2}$ 或 $\frac{3 - \sqrt{33}}{2}$

∴P点坐标为( $\frac{3 + \sqrt{33}}{2}$ ， $\frac{- \sqrt{33} - 9}{2}$ )或( $\frac{3 - \sqrt{33}}{2}$ ， $\frac{\sqrt{33} - 9}{2}$ ).

综上所述，符合条件的点P的坐标是(1，4)，(0，3)，( $\frac{3 + \sqrt{33}}{2}$ ， $\frac{- \sqrt{33} - 9}{2}$ )和( $\frac{3 - \sqrt{33}}{2}$ ， $\frac{\sqrt{33} - 9}{2}$ ).

广西北部湾（来宾市）2020年初中学业水平考试数学模拟卷（一）